¿Que es el Álgebra de Boole?
En esta lección, nos familiarizamos con el álgebra de la lógica, uno de los fundadores del cual fue el matemático inglés George Bull (1815-1864), que era de una familia bastante pobre, y en su juventud obtuvo traducciones de las obras de los filósofos griegos antiguos. Durante esta ocupación, fue visitado por la idea de que a las expresiones se les pueden asignar los valores 1 ("verdad") y 0 "falso".
Entonces, el álgebra de la lógica (álgebra booleana) es una rama de las matemáticas que estudia enunciados considerados desde el lado de sus valores lógicos (verdad o falsedad) y operaciones lógicas sobre ellos. El álgebra de la lógica le permite codificar cualquier declaración cuya verdad o falsedad necesite probar, y luego manipularlas como números ordinarios en matemáticas.
La creación del álgebra de la lógica a mediados del siglo XIX en las obras de George Bull fue un intento de resolver problemas lógicos tradicionales mediante métodos algebraicos.
Función de n variables se llama lógico o booleano o conmutación o una función del álgebra de la lógica si la función en sí misma y cualquiera de sus argumentos solo pueden tomar valores del conjunto {0, 1}. La función descrita a menudo se denomina vector booleano. El número de funciones de n variables es igual a 2 a la potencia n. Lo mismo se puede decir de manera diferente: el número de diferentes vectores booleanos n- dimensionales es 2 a la potencia de n . Y el número de funciones diferentes del álgebra de la lógica de estos vectores es igual a .
Los valores de una variable en álgebra booleana corresponden a los estados de elementos de microchips de una computadora o cualquier otro dispositivo electrónico: hay una señal presente ("1" lógico) o ninguna señal ("0" lógico).
Los circuitos lógicos de dispositivos electrónicos se basan en los elementos lógicos que implementan funciones booleanas.
Las leyes del álgebra booleana también se aplican en la programación, al escribir condiciones lógicas complejas y consultas complejas de bases de datos. Aquí se da un ejemplo con un script en PHP (este artículo trata sobre un sistema de búsqueda de criterios múltiples en un sitio con una base de datos). Otro ejemplo es el uso del álgebra de la lógica en la creación de un menú multinivel de un sitio en el que se abrirían todos los elementos de todos los niveles, a lo largo de la cual se ejecuta la ruta al elemento final del menú abierto.
A menudo resulta que la expresión lógica construida originalmente se puede simplificar usando axiomas, teoremas y leyes del álgebra de la lógica.
Formas de describir funciones lógicas.
Se utilizan los siguientes métodos para describir funciones lógicas:
verbal;
tabular
numérico
analítico
coordinar
gráfico
Un ejemplo de una descripción tabular de funciones lógicas.
Las tablas anteriores se llaman tablas de verdad. Dichas tablas en la práctica deben construirse para cualquier función booleana compleja. Ejemplos de tablas de verdad para funciones booleanas implementadas en circuitos lógicos, en el material Circuitos lógicos y tablas de verdad .
Un ejemplo de una descripción numérica de funciones lógicas.
Un ejemplo de una descripción analítica de funciones lógicas.
Un ejemplo de una descripción coordinada de funciones lógicas.
Base booleana (base lógica)
Cualquier función booleana con un número arbitrario de argumentos puede construirse sustituyendo funciones elementales en lugar de argumentos (superposición). El conjunto de funciones simples con el que puede expresar cualquier otra función lógica arbitrariamente compleja se denomina conjunto funcional completo o base lógica.
Inversión (negación lógica, "NO")
Conjunción (multiplicación lógica, "Y")
Disyunción (adición lógica, OR)
Los circuitos lógicos que implementan funciones lógicas arbitrariamente complejas generalmente se construyen en una base booleana; se dan ejemplos en circuitos lógicos y tablas de verdad .
Presentación analítica de funciones lógicas.
La tabla de verdad se usa generalmente como la descripción inicial de funciones lógicas complejas, sin embargo, es más conveniente simplificar las funciones en forma analítica. En la escritura analítica, la función del álgebra de la lógica se representa como una suma lógica de productos lógicos elementales (disyunciones de conjunciones elementales) o como un producto lógico de sumas lógicas elementales (conjunciones de disyunciones elementales). La primera forma de grabación se llama forma normal disyuntiva (DNF), la segunda forma normal conjuntiva (CNF). En estos nombres, el término "normal" significa la ausencia de una inversión general (negación) sobre varias variables a la vez.
Forma normal disyuntiva
Forma normal conjuntiva
Si le interesa saber mas
visite Axiomas del algebra de boole
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